Частица движется в положительном направлении оси x так, что ее скорость меняется по закону v = α*sqrt(x), где α — положительная постоянная. Имея в виду, что в момент t = 0 она находилась в точке х = 0, найти:
а) зависимость от времени скорости и ускорения частицы;
б) среднюю скорость частицы за время, в течение которого она пройдет первые s метров пути.

В момент t = 0 частица вышла из начала координат в положительном направлении оси х. Ее скорость меняется со временем по закону v = v0 (1 — t/τ), где v0 — вектор начальной скорости, модуль которого v0 = 10,0 см/с, τ = 5,0 с. Найти: а) координату x частицы в моменты времени 6,0, 10 и 20 с; б) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии 10,0 см от начала координат; в) путь s, пройденный частицей за первые 4,0 и 8,0 с; изобразить примерный график s (t).

Радиус-вектор частицы меняется со временем t по закону г = at (1-at), где b — постоянный вектор, а — положительная постоянная. Найти:
а) скорость и ускорение частицы как функции t;
б) время, через которое частица вернется в исходную точку, и пройденный при этом путь.

За время т = 10,0 с точка прошла половину окружности радиуса R = 160 см. Найти за это время:
а) среднее значение модуля скорости;
б) модуль среднего вектора скорости;
в) модуль среднего вектора полного ускорения, если тангенциальное ускорение постоянно.

Точка движется вдоль оси х со скоростью, проекция которой v_x как функция времени описывается графиком на рис. 1.3. В момент t = 0 координата точки х = 0. Изобразить примерные графики зависимостей ускорения а_х, координаты х и пройденного пути s от времени.

Из пункта A, находящегося на шоссе (рис. 1.2), необходимо за кратчайшее время попасть на машине в пункт В, расположенный в поле на расстоянии l от шоссе. Известно, что скорость машины по полю в η раз меньше ее скорости по шоссе. На каком расстоянии от точки D следует свернуть с шоссе?

Две частицы, 1 и 2, движутся с постоянными скоростями v₁ и v₂ по двум взаимно перпендикулярным прямым к точке их пересечения О. В момент t = 0 частицы находились на расстояниях l₁ и l₂ от точки О. Через сколько времени после этого расстояние между частицами станет наименьшим? Чему оно равно?

Кабина лифта, у которой расстояние от пола до потолка равно 2,7 м, начала подниматься с постоянным ускорением 1,2 м/с². Через 2,0 с после начала подъема с потолка кабины стал падать болт. Найти:
а) время свободного падения болта;
б) перемещение и путь болта за время свободного падения в системе отсчета, связанной с шахтой лифта.

Поезд длины l = 350 м начинает двигаться по прямому пути с постоянным ускорением а = 3,0 см/с². Через t = 30 с после начала движения был включен прожектор локомотива (событие 1), а через τ = 60 с после этого — сигнальная лампа в хвосте поезда (событие 2). Найти расстояние между этими событиями в системах отсчета, связанных с поездом и Землей. Как и с какой постоянной скоростью V относительно Земли должна перемещаться некоторая K-система отсчета, чтобы оба события произошли в ней в одной точке?

Точка А движется равномерно со скоростью v так, что вектор v все время «нацелен» на точку В, которая в свою очередь движется прямолинейно и равномерно со скоростью u < v, В начальный момент v перпендикулярно u, и расстояние между точками равно l. Через сколько времени точки встретятся?